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【转载】将立方体绕着体对角线旋转一周,得到什么图形?  

2018-04-10 11:27:20|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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     如图 将一个立方体绕着它的对角线 AC1 旋转一周,会得到哪一种立体图形?

这个问题算是恰到好处,只是让定性的问问旋转体的结果是凹的还是凸的,直的还是弯的。没有超前的问具体形状以及面积体积的计算问题,用来考验小学生的感觉也是说的过去的。

     为了求证问题的结果,我们做起了实验。有点难度,还有点费眼,但是能看出大概应该是凹的。

     所以,答案是 D 。 

      在网上有不少帖子介绍此题。多为转载,鲜见独立见解的。这里解析如下.

      解析:四个选项A,B,C,D中,立体图形的上下两端都是圆锥.
     为什么是圆锥呢?事实上,正方体的棱AB、AD、AA1均与直线AC1相交且夹角相等(均为arctan√2),因此,棱AB、AD、AA1绕直线AC1旋转一周就得到一个圆锥(在上端).同理,棱C1B1、C1D1、CC1绕直线AC1旋转一周得到下端的圆锥.(见下图) 


    

      关键是中间部分!
      从直观上讲,正方体有12条棱,其中6条棱AB、AD、AA1、C1B1、C1D1、CC1旋转一周形成了两端的圆锥,那么中间部分应由剩下的6条棱A1B1、B1C1、C1D1、D1A1、BB1、DD1旋转一周而形成.
      选项D中间部分的立体图形称为通风塔形。通风塔形,在数学上称为单叶双曲面.

    为什么中间部分只能是通风塔形呢?

    设正方体的棱长1,以对角线AC1为z轴,正方体中与y轴异面的直线方程可以写出:
将立方体绕着体对角线旋转一周,得到什么图形? - 真心阳光 - 《真心阳光》博客 
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